Тема уроку. Формула Герона.
Мета уроку: виведення формули Герона для площі трикутника. Фор¬мування вмінь учнів застосовувати виведену формулу до розв'язування задач.
Тип уроку: комбінований.
Наочність і обладнання: таблиця «Площі трикутників і чотирикутників» [13].
Вимоги до рівня підготовки учнів: використовують формулу Герона під час розв'язування задач.
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання
Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відпо¬вісти на запитання, які виникли в учнів при їх виконанні.
Задача 1. Розв’язання
Оскільки квадрат і ромб мають однакові периметри, то їхні сторони рівні. Нехай довжина сторони дорівнює а, тоді площа квадрата дорівнює а2, а площа ромба a2sinα, де α — кут ромба.
Оскільки sinα < 1, то a2sinα < а2. Отже, площа ромба менша за площу квадрата.
Відповідь. Квадрат.
Задача 2. Розв’язання
Оскільки в трикутнику ABC (рис. 45) АВ = а, CAB = 45°, то
АС = АВ ∙ cos CAB = a ∙ cos45° = a ∙ = .
SΔAВC = AC2 = = .
Відповідь. .

Задача 3. Розв’язання
Нехай у трикутнику ABC (рис. 46) АС = ВС = 1 м, С = 70°, тоді
S = ∙ AC ∙ BC ∙ sinC = ∙ 1 ∙ 1 ∙ sin70° = ∙ sin70° ∙ 0,94 = 0,47 (м2).
Відповідь. 0,47 м2.

Математичний диктант
1) Знайдіть площу прямокутника зі сторонами 2 см і 3 см.
2) Знайдіть площу прямокутного трикутника з катетами 3 см і 2 см.
3) Знайдіть площу правильного трикутника зі стороною 2 см.
4) Знайдіть площу паралелограма зі сторонами 2 см і см, якщо кут між сторонами становить 60°.
5) Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 3 см і 4 см.
6) Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють см і 3 см, а кут між ними становить 135°.
Відповіді. 1) 6 см2; 2) 3 см2; 3) см2; 4) 3 см2; 5) 6 см2; 6) 1,5 см2.

II. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу
Ви навчилися знаходити площу довільного трикутника за ві¬домими:
1) стороною і висотою, проведеною до цієї сторони;
2) сторонами і кутом між ними.
Сьогодні ми ознайомимося з тим, як можна знайти площу трикутника, якщо відомі три його сторони. Цю формулу одержав Герон Александрійський, давньогрецький учений, який жив в Александрії в І ст. н. є. Відомо, що він був ученим-інженером, займався геодезією і прикладною математикою.
Проведемо висоту до найбільшої сторони трикутника ABC (рис. 47). Нехай АС = b — найбільша сторона цього трикутника, АВ = с, ВС = а, BD AC. Нехай AD = х, тоді DC = b – х. Із прямокутного трикутника ABD маємо: BD2 = c2 – x2. Із прямокутного трикутни¬ка BCD маємо: BD2 = а2 – (b – x)2. Тоді маємо рівняння с2 – х2 = a2 – (b – х)2, з якого знай¬демо х. с2 – х2 = а2 – b2 + 2bx – x2; 2bx = c2 + b2 – a2; .
Тоді BD = = = .
Отже, S = b ∙ ВD = = =
= = =
= = =
= .
Ураховуючи, що , маємо:
S = = .
Що і треба було довести.
Колективне розв'язування задач
Знайдіть площу трикутника за трьома сторонами:
а) 17, 65, 80; б) , , 6; в) 15, 37 , 47 ; г) 2 , 3 , 1,83.
Розв'язання
а) S = =
= = = 288.
б) .
S = = = 10.
в) .
S = = = 42 =
= = = 193 .
г) .
S= = = = = = = 1,4.

ІІІ. Закріплення й осмислення нового матеріалу
Колективне розв'язування задач
Сторони трикутника дорівнюють а, b, с. Знайдіть висоту трикутника, опущену на сторону с.
Розв'язання
, .
Оскільки S = chc, то hc = = .
Відповідь. .

Самостійне розв'язування задач
Бічні сторони трикутника дорівнюють 30 см і 25 см. Знайдіть висоту трикутника, опущену на основу, що дорівнює: а) 25 см; б) 11 см.
Розв'язання
а) ,
(см2).
S = ∙ 25 ∙ h, 300 = ∙ 25 h, h = = 24 (см).
Відповідь. 24 см.
б) ,
(см2).
S = ∙ 11 ∙ h, 132 = ∙ 11 ∙ h, h = = 24 (см).
Відповідь. 24 см.
Колективне розв'язування задачі
Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 64 см, а його бічна сторона на 11 см більша від основи. Знайдіть висоту три¬кутника, опущену на бічну сторону.
Розв'язання
Нехай трикутник ABC (рис. 48) рівнобедрений, АВ = ВС. Нехай АС = х см, тоді АВ = ВС = (х + 11) см. Оскільки периметр дорів¬нює 64 см, то маємо:
x + 11 + x + 11 + x = 64; 3х + 22 = 64; 3х = 42; х = 14. Отже, АС = 14 см, АВ = ВС = 25 см.
Оскільки = = = 7 ∙ 4 ∙ 6 = 168 (см2), S = ∙ АВ ∙ h, то h = = = = 13,44 (см).
Відповідь. 13,44 см.

IV. Самостійна робота
Варіант 1
1. Знайдіть найменшу висоту трикутника зі сторонами 5, 5, 6.
2. Знайдіть найбільшу висоту трикутника зі сторонами , , 6.
Варіант 2

1. Знайдіть найменшу висоту трикутника зі сторонами 17, 65, 80.
2. Знайдіть найбільшу висоту трикутника зі сторонами 13, 37 , 47- .

V. Домашнє завдання
Розв'язати задачі.
1. Знайдіть площу трикутника за трьома сторонами, що дорів¬нюють:
а) 13, 14, 15; б) 5, 5, 6.
2. Знайдіть висоти трикутника, у якого сторони дорівнюють 13 см, 14 см, 15 см.
3. Знайдіть висоту трикутника зі сторонами 2 , 3 , 1,83, яка проведена на основу 2 .

VI. Підбиття підсумків уроку Завдання класу
1. Запишіть відомі вам формули для знаходження площі три¬кутника.
2..

Предмети: Математика

Класи: 9 клас